При использовании материалов этого сайта - АКТИВНАЯ ССЫЛКА и размещение баннера -ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!

Разработка урока по теме: "Как измерить информацию"

(содержательный подход)

Разделы учебника [1]: § 2. Дополнительный материал: часть 2, раздел 1.1.

Основные цели. Раскрыть понятие информативности сообщения с субъективной (содержательной) точки зрения на информацию. Ввести единицу измерения информации - бит. Научить вычислять количество информации в частном случае сообщения о событии с известной вероятностью (из данного конечного множества).

Изучаемые вопросы:

o От чего зависит информативность сообщения, принимаемого человеком.

o Единица измерения информации.

o Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий.

Методические рекомендации по объяснению теоретического материала

1. В данной теме используется понятие "сообщение", интуитивно понятное ученикам. Тем не менее может возникнуть потребность расшифровать это понятие. Сообщение - это информационный поток, который в процессе передачи информации поступает к приемнику. Сообщение - это и речь, которую мы слушаем (радиосообщение, объяснение учителя), и воспринимаемые нами зрительные образы (фильм по телевизору, сигнал светофора), и текст книги, которую мы читаем, и т.д.

2. Вопрос об информативности сообщения следует обсуждать на примерах, предлагаемых учителем и учениками. Правило: информативным назовем сообщение, которое пополняет знания человека, т.е. несет для него информацию. Для разных людей одно и то же сообщение с точки зрения его информативности может быть разным. Если сведения "старые" , т.е. человек это уже знает, или содержание сообщения непонятно человеку, то для него это сообщение неинформативно. Информативно то сообщение, которое содержит новые и понятные сведения.

Еще раз хочется подчеркнуть всю познавательную (для учеников) и методическую (для учителя) сложность данного материала. Нельзя отождествлять понятия "ин формация" и "информативность сообщения". Следующий пример иллюстрирует различие понятий. Вопрос:

"Содержит ли информацию вузовский учебник по высшей математике, с точки зрения первоклассника?" Ответ: "Да, содержит с любой точки зрения! Потому что в учебнике заключены знания людей: авторов учебника, создателей математического аппарата (Ньютона, Лейбница и др.), современных математиков". Эта истина - абсолютна. Другой вопрос: "Будет ли информативным текст этого учебника для первоклассника, если он попытается его прочитать? Иначе говоря, может ли первоклассник с помощью этого учебника пополнить собственные знания?" Очевидно, что ответ отрицательный. Читая учебник, т.е. получая сообщения, первоклассник ничего не поймет, а стало быть, не обратит его в собственные знания. Введение понятия "информативность сообщения" является первым подходом к изучению вопроса об измерении информации. Если сообщение неинформативно для человека, то количество информации в нем, с точки зрения этого человека, равно нулю. Количество информации в информативном сообщении больше нуля.

При объяснении этой темы можно предложить ученикам поиграть в своеобразную викторину. Например, учитель предлагает детям перечень вопросов, ответы на которые они молча записывают на бумагу. Если ученик не знает ответа, он ставит знак вопроса. После этого учитель дает правильные ответы на свои вопросы, а ученики, записав ответы учителя, отмечают, какие из ответов оказались для них информативными (+), какие - нет (-). При этом для сообщений, отмеченных минусом, нужно указать причину отсутствия информации: не новое (это я знаю), непонятное. Например, список вопросов и ответы одного из учеников могут быть такими, как в таблице на с. 6. 3. Определение бита - единицы измерения информации - может оказаться сложным для понимания. В этом определении содержится незнакомое детям понятие "неопределенность знаний". Прежде всего нужно раскрыть его. Учитель должен хорошо понимать, что речь идет об очень частном случае: о сообщении, которое содержит сведения о том, что' произошло одно из конечного множества (N) возможных событий. Например, о результате бросания монеты, игрового кубика; вытаскивания экзаменационного билета и т.п. Неопределенность знания о результате некоторого события - это число возможных вариантов результата. Для монеты - 2, для кубика - б, для билетов - 30 (если на столе лежало 30 билетов).

4. Еще одной сложностью является понятие равновероятности. Здесь следует оттолкнуться от интуитивного представления детей, подкрепив его примерами. События равновероятны, если ни одно из них не имеет преимущества перед другими. С этой точки зрения выпадение орла и решки - равновероятны; выпадение одной из шести граней кубика - равновероятны. Полезно привести примеры и неравновероятных событий. Например, в сообщении о погоде в зависимости от сезона сведения о том, что будет - дождь или снег, могут иметь разную вероятность. Летом наиболее вероятно сообщение о дожде, зимой - о снеге, а в переходный период (в марте или ноябре) они могут оказаться равновероятными. Понятие "более вероятное событие" можно пояснить через родственные понятия: более ожидаемое, происходящее чаще в данных условиях. В рамках базового курса не ставится задача понимания учениками строгого определения вероятности, умения вычислять вероятность. Но представление о равновероятных и неравновероятных событиях должно быть ими получено. Ученики должны научиться приводить примеры равновероятных и неравновероятных событий.

При наличии учебного времени полезно обсудить с учениками понятия "достоверное событие" - событие, которое обязательно происходит, и "невозможное событие". От этих понятий можно оттолкнуться, чтобы ввести интуитивное представление о мере вероятности. Достаточно сообщить, что вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0. Это крайние значения. Значит, во всех других "промежуточных" случаях значение вероятности лежит между нулем и единицей. В частности, вероятность каждого из двух равновероятных событий равна 1/2. При углубленном варианте изучения базового курса следует обратиться к разделу 1.1 "Вероятность и информация" второй части учебника.

5. В учебнике дано следующее определение единицы информации: "Сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 2 раза, несет 1 бит информации". Немного дальше приводится определение для частного случая: "Сообщение о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, несет 1 бит информации". Учитель, предпочитающий индуктивный метод объяснения, может начать со второго определения. Обсуждая традиционный пример с монетой (орел-решка) , следует отметить, что получение сообщения о результате бросания монеты уменьшило неопределенность знаний в два раза: перед подбрасыванием монеты было два равновероятных варианта, после получения сообщения о результате остался один-единственный. Далее следует сказать, что и для всех других случаев сообщений о равновероятных событиях при уменьшении неопределенности знаний в два раза передается 1 бит информации. Примеры, приведенные в учебнике, учитель может дополнить другими, а также предложить ученикам придумать свои примеры. Индуктивно, от частных примеров учитель вместе с классом приходит к обобщенной формуле:2i= N. Здесь N - число вариантов равновероятных событий (неопределенность знаний), a i - количество информации в сообщении о том, что произошло одно из N событий. Если N - известно, а i является неизвестной величиной, то данная формула превращается в показательное уравнение. Как известно, показательное уравнение решается с помощью функции логарифма: i=log2N. Здесь учителю предоставляются два возможных пути:

либо с опережением уроков математики объяснить, что такое логарифм, либо "не связываться" с логарифмами. Во втором варианте следует рассмотреть с учениками решение уравнения для частных случаев, когда N есть целая степень двойки: 2, 4, 8, 16, 32, - и т.д. Объяснение происходит по схеме:

ЕСЛИ  N= 2= 21, то уравнение принимает вид: 2i= 21, отсюда i = 1.

Если N = 4 = 22, то уравнение принимает вид: 2 i = 22, отсюда i == 2.

Если N = 8 == 23, то уравнение принимает вид: 2 i = 23, отсюда i = 3 и т.д.

В общем случае, если N = 2k где k - целое число, то уравнение принимает вид 2i = 2k и, следовательно, i = k. Ученикам полезно запомнить ряд целых степеней двойки хотя бы до 210= 1024. С этими величинами им предстоит еще встретиться в других разделах.

Для тех значений N, которые не являются целыми степенями двойки, решение уравнения 2i  = N можно получать из приведенной в учебнике таблицы в § 2. Совсем необязательно говорить ученикам, что это таблица логарифмов по основанию 2. Например, желая определить, сколько же бит информации несет сообщение о результате бросания шестигранного кубика, нужно решать уравнение: 2i = 6, Поскольку 22 < 6 < 23, то следует пояснить ученикам, что 2 < i < 3. Заглянув а таблицу, узнаем (с точностью до пяти знаков после запятой), что i= 2,58496 бита.

Методические рекомендации по решению задач

Задачи по теме § 2 связаны с использованием уравнения 2i= N. Возможны два варианта условий задач:

1) дано N, найти i ;

2) дано i, найти N.

В случаях, когда N равно целой степени двойки, желательно, чтобы ученики выполняли вычисления "в уме". Как уже говорилось выше, полезно запомнить ряд целых степеней числа 2 хотя бы до 210. В противном случае следует использовать таблицу 1.1, где рассматриваются значения N от 1 до 64,

Для основного уровня изучения базового курса предлагаются задачи, связанные с сообщениями о равновероятных событиях. Ученики должны это понимать и обязательно качественно обосновывать, используя термин "равновероятные события".

Пример 1. [I] Задание № 7 к § 2. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды в 32 карты достали даму пик?

 Решение этой задачи следует описывать так: при случайном вытаскивании карт и а перемешанной колоды ни одна из карт не имеет преимущества по сравнению с другими быть выбранной. Следовательно, случайный выбор любой карты, в том числе и дамы пик, - события равновероятные. Отсюда следует, что неопределенность знаний о результате вытаскивания карты равна 32 - числу карт в колоде. Если i - количество информации в сообщении о результате вытаскивания одной карты (дамы пик), то имеем уравнение;

2 i =32

Поскольку 32= 25, следовательно i = 5 бит.

На тему данной задачи учитель может предложить еще несколько заданий. Например:

Сколько информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту красной масти? (1 бит, так как красных и черных карт одинаковое количество.)

Сколько информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту бубновой масти? (2 бита, так как всего в колоде 4 масти и количества карт в них равные.)

Пример 2. [ 1 ] Задание № 8 к § 2. Проводятся две лотереи: "4 из 32" и "5 из 64". Сообщение о результатах какой из лотерей несет больше информации ?

У этой задачи есть "подводный камень", на который может натолкнуться учитель. Первый путь решения тривиальный: вытаскивание любого номера из лотерейного барабана - события равновероятные. Поэтому в первой лотерее количество информации в сообщении об одном номере равно 5 бит(25 = 32), а во второй - 6 бит (26 = 64). Сообщение о четырех номерах в первой лотерее несет 5х4= 20 бит. Сообщение о пяти номерах второй лотереи несет 6х5= 30 бит. Следовательно, сообщение о результатах второй лотереи несет больше информации, чем о первой.

Но возможен и такой путь рассуждения. Представьте себе, что вы наблюдаете за розыгрышем лотереи. Выбор первого шара производится из 32 шаров в барабане. Результат несет 5 бит информации. Но 2-й шар будет выбираться уже из 31 номера, 3-й - из 30 номеров, 4-й - из 29. Значит, количество информации, которое несет 2-й номер, находится из уравнения: 2i= 31.

Глядя в таблицу 1.1, находим: i= 4,95420 бита. Для 3-го номера: 2'= 30; г = 4,90689 бита. Для 4-го номера: 2'= 29; г= 4,85798 бита. В сумме получаем: 5 + 4,95420 + 4,90689 + 4,85798 = = 19,71907 бита.

Разработка урока по теме: "Как измерить информацию"